2020年陕西教师招聘考试：数量关系巧解和定最值之混合极值的问题

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2020年陕西教师招聘考试：数量关系巧解和定最值之混合极值的问题

　　我们对于极值问题的了解可能更多是针对于问题中提及到的最多(至多)、最少(至少)等，而对于涉及的不同的题型类型可能知道的并不够全面。在极值问题中可能包含了均值不等式、一元二次方程求极值、和定最值、抽屉原理等。而今天我们要了解的便是和定最值中典型题型——混合极值问题。

　　混合极值问题是掌握了正向极值、逆向极值之后的灵活应用，而如何能灵活将混合极值问题解决便是我们需要了解和深究的知识点。首先我们需要清楚什么是混合极值?和，求中间某个量的最大、最小值便是混合极值，混合极值与正向极值、逆向极值之间又有哪些联系与区别呢?下面我们通过一道简单题目了解下混合极值。

　　1、已知和，求某个量最大、最小。

　　例题1、100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加?

　　A.22 B.21 C.24 D.23

　　【答案】：A。解析：若要参加人数第四多的活动人数多，则其他活动参加人数尽量的少。参加人数最少的三项活动人数分别为1人、2人、3人。剩余人数=100-1-2-3=94人。剩余项目人数尽量接近，构成等差数列。94÷4=23.5。构成数列为25人、24人、23人、22人。所以参加人数第四多的活动最多有22人。

　　2、已知平均量，求某个量最大、最小。

　　例题2、8名学生设计投球比赛，平均每人投进15个。若每人投进的数量各不相同，其中进球数量最多的学生进了21个，那么进球数量排名第二的学生至少投进多少个?

　　A.19 B.18 C.15 D.14

　　【答案】：B。

　　方法一：如要进球数量第二多的学生投进数少，则其他人进球数量应尽量的多。已知8名同学的进球的平均数15，构建等差数列：19、18、17、16、14、13、12、11;其中进球数量最多的学生进了21个，比我们构建的数列中最大量多2个，则后7项应少2个。数列此时为21、18、16、15、14、13、12、11;则此时进球数量排名第二的学生至少投进18个。

　　方法二：如要进球数量第二多的学生投进数少，则其他人进球数量应尽量的多。已知8名同学的进球的平均数15，且进球数量最多的学生进了21个，因此在构建等差数列时，可以先将最多的同学投球数作为15，则剩余7人的投球数构成等差数列为18、17、16、15、14、13、12;因为最多的人实际多投入6个，则剩余7人则少投入6个，即后面6人每人少投入1个，进球数量排名第二的学生至少投进18个。

　　总结：在我们求解和定最值之混合极值的题目中，无论是题干中给予我们是整体的和亦或是给予我们相应的平均量，核心即为求某一个量最大，令其他量尽量的小;求某一个最小，则令其他量尽量的大的原则。根据题目是否有互不相构建数列进行求解即可。